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2002 年 8 月 12 日

什麼是相對論? (42) 在洛仁子變換下的規範變換條件
提供者 : 陳輝樺 (AEEA 小組 , NMNS )

說明: 馬克士威方程式 統整和修正了原有電學和磁學中的四個定律, 而電場 (electric field) E磁場 (magnetic field) B 又可以用向量電位 (vector potential) A純量電位 (scale potential) φ 表示:

    E = - ▽φ - 1/c ∂ A /∂ t       和                 B = ▽ x A 。   

        在昨天討論中提及, 雖然馬克士威方程式已可以地用但磁場強度 B 和電場強度 E 完全的表達, 但未能將磁場強度 B 、電場強度 E 和向量電位 A 、純量電位 φ 的關係明確地表明。 因為在上式中若將 A 和 φ 經過下列的 規範變換, 可發現 BE 仍然不變,

A' = A + ▽Λ             和         φ' = φ - 1/c ∂ Λ /∂ t ,

式中 Λ 為 x 和 t 的任意函數。 換言之,一個電磁的物理系統可以用唯一EB 之量測值來決定, 但尚無法確知是否會有無限多組A 和 φ 值存在著? 1959 年,AHARONOV 和 BOHM 提出上述的問題; 1960 年,實驗證實不同組的 A 和 φ 值造成相同的 EB 之量測值, 是具會有相同的物理現象。 到底馬克士威方程式該如何表示成規範場 Aα 的關係式呢? 我們若在 A' 和 φ' 加上條件, 可以限制 Λ 的形式,可使得 A' 和 φ' 適合波動方程。 其條件稱之為「洛仁子條件 (Lorentz condition)」:

▽ • A' + 1/c ∂ φ' /∂ t = 0 ,

規範函數 Λ 滿足 □Λ = - (▽ • A + 1/c ∂ φ /∂ t ) , 式中 □ ≡ (∂2 /∂ x2 , ∂2 /∂ y2 , ∂2 /∂ z2 , 1/c22 /∂ t2 )。 而且使得 A' 和 φ' 滿足 □A' = - 4π/c J 和 □φ' = - 4π ρ , 或寫成 □Aα = - 4π Jα 。 凡是經過規範變換後的不變性稱為「規範不變性 (Gauge invariance)」, 如 EB的不變性。 現在,加上了洛仁子條件的限制後的 A' 和 φ' 仍是無限多組嗎? 我們稍後再介紹! 上圖是馬克士威畫像。

明日主題 : 什麼是相對論? 相對論力學與牛頓力學
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作者與主編 : 陳輝樺 、 王夕堯
諮詢服務: 陳輝樺 (NMNS 國立自然科學博物館)
王夕堯 (NTPU 國立台北大學)
蘇明俊 (NKNU 國立高雄師範大學科教所)

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