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2002 年 8 月 10 日

什麼是相對論？ (40) 在洛仁子變換下的電場和磁場
提供者 : 陳輝樺 (AEEA 小組 , NMNS )

說明: 在前天的討論中，我們成功地將馬克士威方程式表示成在洛仁子變換下的張量形式。但到底電磁場中的電場 E 和磁場 B 在洛仁子變換下，在不同的慣性座標中有著什麼樣的變換關係式呢？由定義電場 E = - ▽φ - ∂ A /∂ t 和磁場 B = ▽ x A 式中的純量電位 φ 和向量電位 A 寫成 A^μ = (A, φ) ，視為「四維電位向量」，則「電磁場張量 (Electromagnetic Field Strength Tensor)」可以定義為 F_μ_ν = ∂ A^ν /∂ x^μ - ∂ A^μ /∂ x^ν，則 F_μ_ν 可表示成

｜ 0 ,	B_z ,	- B_y ,	- E_x　｜
｜- B_z ,	0 ,	B_x ,	- E_y　│
｜B_y ,	- B_x ,	0 ,	- E_z　│
｜ E_x,	E_y ,	E_z ,	0. 　│

又考量在 S' 和 S 兩座標系的向量場，其變換規則可用式子 A'^μ (x') = [∂ x'^μ / ∂ x^ρ] A^ρ (x) ≡ a^μ_ρ A^ρ (x) 來表示，式中座標變換係數 a^μ_ρ 為 2 階混合張量。換言之，在洛仁子變換下的電磁場張量可以表示成 F'^α^β = a^α_i a^β_j Fⁱ^j ，而得到 B'_x = B_x , B'_y = γ (B_y + β E_z) , B'_z = γ (B_z - β E_y) 和 E'_x = E_x , E'_y = γ (E_y - β B_z) , E'_z = γ (E_z + β B_y) 。或寫成 E'_‖ = E_‖ ， B'_‖ = B_‖ 和 E'_⊥ = γ (E_⊥ + β x B_⊥) ， B'_⊥ = γ (B_⊥ - β x E_⊥) ，式中 β = v / c , γ² = 1 / (1 - β²)，「‖」和「⊥」分別表示沿著兩座標的平行方向和垂直的方向之分量。至於，四維電位向量 A^μ = (A, φ) 和四維電流向量 J^μ = (J , c ρ) 內積的收縮純量 A_μJ^μ，以及兩電磁場張量內積的收縮純量 F_α_β F^α^β 在洛仁子變換下是個守恆的量，會為我們得出什麼重大的物理意義呢？尚還有那些四維向量也值得我們進一步探究呢？我們稍後再介紹！上圖是示意電磁波從左至右的行進方式，紫色的表示電場強度 E 、紅色的表示磁場強度 B 。

明日主題 : 什麼是相對論？ 規範變換

作者與主編 : 陳輝樺、王夕堯
諮詢服務: 陳輝樺 (NMNS 國立自然科學博物館)
王夕堯 (NTPU 國立台北大學)
蘇明俊 (NKNU 國立高雄師範大學科教所)

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