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2002 年 8 月 8 日

什麼是相對論？ (38) 馬克士威方程式在洛仁子變換下的不變性
提供者 : 陳輝樺 (AEEA 小組 , NMNS )

說明: 相對論原理說明物理定律在各個慣性座標系中均具有相同的形式。也就是說，物理定律方程式的表示，在洛仁子變換下不變性的形式，即此形式必須是張量方程。因此，只要馬克士威方程式能寫成在洛仁子座標下的張量方程形式，就表示其具有形式的不變性。
首先由電荷守恆律來討論電荷密度 (Charge density) ρ 和電流密度 (Current density) J 的變換形式： ▽ • J + ∂ ρ /∂ t = 0 ，只要將 (J , c ρ) = J^μ ，式中 μ = 1, 2, 3, 4 ，視為「四維電流向量」，則電荷守恆律可表示成 ∂ J^μ /∂ x^μ = 0 這是洛仁子不變式。同樣地將定義電場 (electric field) E = - ▽φ - ∂ A /∂ t 和磁場 (magnetic field) B = ▽ x A 式中的純量電位 (Scale potential) φ 和向量電位 (Vector potential) A 寫成 A^μ = (A, φ) ，視為四維電位向量，則電磁場張量可以定義為 F_μ_ν = ∂ A^ν /∂ x^μ - ∂ A^μ /∂ x^ν，則馬克士威方程式中的歐姆定律 ▽ • B = 0 和法拉第定律 ▽ x E = - ∂ B / ∂ t 兩式可以合併寫成 ∂ F_α_β /∂ x^γ + ∂ F_γ_α /∂ x^β + ∂ F_β_γ /∂ x^α = 0 ，而高斯定律 ▽ • E = 4 π ρ 和安培定律 ▽ x B = 4π/c J + 1/c ∂ E / ∂ t 兩式可以合併寫成 F^μ^ν,_ν = 4π/c J^μ 。
綜合上面的描述，馬克士威方程式在洛仁子變換下的不變性是成立的。但要完整地建立了相對論性的電動力學系統，似乎仍嫌不夠，因為尚需證明在電磁場中電荷 q 的運動方程「洛仁子運動方程 ( Lorentz force equations)」也是符合相對論性的。也就是說，我們也依據上面關於電磁場當中物理量的張量形式之定義，還需要證明 d p /dt = F = q E + q/c v x B 也該表示成張量的形式。到底洛仁子運動方程該如何表示成張量的形式呢？我們稍後再介紹！上圖是馬克士威的畫像。

明日主題 : 什麼是相對論？ 在洛仁子變換下的洛仁子運動方程

作者與主編 : 陳輝樺、王夕堯
諮詢服務: 陳輝樺 (NMNS 國立自然科學博物館)
王夕堯 (NTPU 國立台北大學)
蘇明俊 (NKNU 國立高雄師範大學科教所)

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