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2002 年 8 月 5 日

什麼是相對論？ (35) 四維向量
提供者 : 陳輝樺 (AEEA 小組 , NMNS )

說明: 1907 年，明可士基 (Hermann Minkowski，1864.6.22. - 1909.1.12.) 在所著《Raum und Zeit (空間與時間) 》一書中，將空間與時間視為一個流形連續體 (Mainfold)，為愛因斯坦的狹義相對論特別提供四維空間的數學結構，影響了愛因斯坦在狹義相對論和廣義相對論上對於「度規 (Metric)」的構思。
        愛因斯坦在狹義相對論裡，提出相對論的兩個基本假設之一的「相對性原理」。就是在所有以等速作相對運動的慣性座標系中，任何物理定律均具有「相同形式」。因此欲使馬克士威方程在不同的慣性座標系均呈同一形式，則伽利略變換將不再適用，這是因為馬克士威方程在不同的伽利略觀察者有不同的形式，因此必需新的變換定律，使洛仁子變換成為狹義相對論中的變換定律。換言之，物理定律裡的物理量要能夠在洛仁子變換下運算，則它們先決條件是要先能表示成包含空間和時間函數的「四維向量 (4 - vector)」。
        首先考量的四維慣性座標系是將時間視為等同三維空間的另一維度，稱之為四維的時空 (如上圖的示意，其上下軸為時間軸)，我們常以 x^μ ≡ (x¹, x² , x³ , x⁴) = (x , y , z , ct) 來表示，式中 μ = 1, 2, 3, 4 。而其他眾所熟悉物理定律裡的量，那些是能夠以四維向量的形式呈現呢 ? 能夠以四維向量的形式呈現的這些量，才是我們感興趣的「物理量」。如電磁波的表達形式中的「相位 (Phase)」可表示成 k • x - ω t = k_μ x^μ ，即四維波數 k_μ = (k , ω/c ) 。
        接著我們考慮如何地去建立相對論力學系統，而定義出一些四維的物理量？仿照原有牛頓力學裡在三維空間所定義的速度 v、線性動量 p 分別是對參數時間 t 微分的定義，現今在狹義相對論中可改以對原時 (Proper time) (即間間隔 τ) 作微分；得到四維速度 v^μ ≡ dx^μ/dτ = γ (v , c) 和四維線性動量 p^μ ≡ m₀ dx^μ/dτ = γ (m₀ v , m₀ c) = (p , E/c) ，式中 μ = 1, 2, 3, 4 ，c 為真空中的光速， β = v / c , γ² = 1 / (1 - β²)， m₀ 為「靜止質量 (Rest mass)」， E 為質點能量。換言之，在今天的討論中初現了 x^μ 、 k^μ 、 v^μ 和 p^μ 等四維向量，它們在洛仁子變換下運算的不變性會為我們得出什麼重大的物理意義呢？尚還有那些四維向量也值得我們進一步探究呢？我們稍後再介紹！

明日主題 : 什麼是相對論？ 都卜勒效應

作者與主編 : 陳輝樺、王夕堯
諮詢服務: 陳輝樺 (NMNS 國立自然科學博物館)
王夕堯 (NTPU 國立台北大學)
蘇明俊 (NKNU 國立高雄師範大學科教所)

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